사 칙 계 산

 

사 칙 계 산

덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈의 4산법(四算法)으로 이를 4칙계산 또는 사칙연산 이라고도 한다.

여기에서 다루는 수는 흔히 복소수를 가리키지만 그 범위를 실수·유리수·정수·자연수 등으로 한정하여 다룰 수도 있다. 또한 4칙에 대해서는 교환·결합·배분 법칙이 성립한다. 4산법인 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈에 대해 살펴보면 다음과 같다.

덧셈은 서로 더해서 합하는 것으로, 1개의 수·양에 또 하나의 수·양을 더하는 것이다.

엄밀히 정의하면 다음과 같다.

원소 n₃로 이루어진 새로운 집합 S₃를 만들기 위해

원소 n_1, n₂로 이루어진 집합 S₁과 S₂를 취할 때

집합 S₃는 n₁＋n₂=n₃인 원소를 포함한다.

이때 n₃를 n₁과 n₂의 합(合)이라고 하고

n₁은 피가수(被加數),

n₂는 가수(加數)라고 한다.

이렇게 합을 만드는 과정을 덧셈이라고 하며, 덧셈기호는 ＋를 사용한다. 즉 집합의 원소 사이에 결합이 정해져 있을 때 두 원소 a, b 에 대해 덧셈기호 ＋를 써서 제3의 원소 c 를 구하는 것이며 이것을 a＋b=c 로 나타낸다. 이런 식의 표현에서는 덧셈결과인 c 를 합이라고 하고 덧셈의 대상인 수의 경우 a를 피가수, b 를 가수라고 하는 것이다. 덧셈에서는 교환법칙 a＋b=b＋a, 결합법칙 (a＋b)＋c=a＋(b＋c)가 성립한다.

뺄셈은 1개의 수·양에서 또 하나의 수·양을 빼는 것으로 덧셈의 역산(逆算)이다.

엄밀히 정의하면 다음과 같다.

덧셈이 정의되어 있을 때,

n₁＋x=n₂를 만족하는 x를 구하는 연산을 뺄셈이라고 하고

x=n₂－n₁으로 나타낸다.

이때 n₂를 피감수(被減數), n₁을 감수(減數)라고 하고 뺄셈의 결과인 x를 차(差)라고 한다.

자연수의 범위에서는 임의의 수 n₁의 역원(逆元) －n₁이 존재하지 않기 때문에 뺄셈이 자유롭지 않지만 정수에서는 임의의 수의 역원이 존재하기 때문에 자유로운 뺄셈이 가능하다.

같은 수를 반복하여 덧셈하는 것과 같은 결과를 얻을 수 있는 연산법이 곱셈이다.

엄밀히 정의하면 다음과 같다.

공집합이 아닌 집합 S 의 임의의 두 원소 n₁, n₂와 곱 n₃ (n₃는 S 의 원소임)가 하나로 정해지고 n₃=n₁×n₂로 쓸 때 n₁, n₂와 n₃의 대응을 집합 S 에서의 곱셈이라고 한다.

이때 n₂를 피승수(被乘數), n₁을 승수(乘數), n₃ 를 곱이라고 한다.

예를 들어 곱셈 기호 ×로 나타내는 곱셈 2×3의 결과는 2＋2＋2의 결과와 같다. 여기서 2×3은 2에 3을 곱하는 곱셈이라 하고, 그 결과인 6을 곱이라고 한다. 이때 2×3을 2·3으로 나타내기도 하며 문자 사이의 곱셈인 경우 ab, 2a와 같이 기수를 생략하거나 a·b 로 나타낼 수도 있다. 같은 수나 문자를 곱셈하는 경우에는 2×2×2=2³과 같이 거듭제곱의 꼴로 나타낼 수 있다. 곱셈에서는 곱셈의 교환법칙 ab=ba, 결합법칙 a (bc)=(ab) c 를 만족하고, 덧셈에 대한 곱셈의 배분법칙 a (b＋c)=ab＋ac 가 성립된다. 또한 0과의 곱셈 결과는 모두 0으로 임의의 수 a에 대해 a×0=0, 0×a=0이다.

나눗셈은 어떤 수를 다른 수로 나누는 것으로 곱셈의 역산이며 제산(除算)이라고도 한다. 이때 나누어지는 수는 피제수(被除數), 나누는 수는 제수(除數)라고 하고 그 값을 몫이라고 하는데 나누어 떨어지지 않을 때 남는 수를 나머지라고 한다. 또한 피제수와 제수에 0이 있을 때, 즉 0이 아닌 임의의 수 a에 대해 0/a=0이며, 0/0=부정(不定), a/0=불능(不能)이다. 4칙은 대상이 되는 수의 범위에 따라 사칙연산이 가능하기도 하고 불가능하기도 한데, 수의 범위를 복소수·실수 또는 유리수 전체로 할 때는 0으로 나누는 나눗셈만을 제외하면 4칙은 항상 가능하다. 그러나 정수의 범위에서는 나눗셈이 언제나 가능한 것이 아니며, 또한 자연수의 범위에서도 뺄셈과 나눗셈이 언제나 가능한 것은 아니다. 사칙연산이 가능한 수의 집합(예를 들면 복소수·실수 또는 유리수 전체)을 체(體 field)라고 한다.

4칙에 대해서는 다음과 같은 법칙이 성립한다.

교환법칙 a＋b=b＋a, a×b=b×a

결합법칙 a＋(b＋c)=(a＋b)＋c

a×(b×c)=(a×b)×c

배분법칙 (a＋b)×c=a×c＋b×c

(a＋b)－b=a

(a×b)/b=a(b≠0)

덧셈과 곱셈에서는 각각

교환법칙 a＋b=b＋a, a×b=b×a 및

결합법칙 a＋(b＋c)=(a＋b)＋c, a×(b×c)=(a×b)×c가 성립하며

배분법칙 ( a＋b)×c=a×c＋b×c 에 의해 관계 지을 수 있다.

<가져온 글입니다>